Verbum

ПРАЕКТЫ́ЎНАЯ ГЕАМЕ́ТРЫЯ,

раздзел геаметрыі, што вывучае ўласцівасці фігур, якія не змяняюцца пры праектыўных пераўтварэннях. Такія ўласцівасці наз. праектыўнымі, напр., датычнасць прамой і лініі, парадак лініі. Існуюць таксама непраектыўныя ўласцівасці, напр., паралельнасць ці перпендыкулярнасць прамых, роўнасць адрэзкаў і вуглоў. Асн. тэарэмы класічнай П.г.: Брыяншона тэарэма, Дэзарга тэарэма, Паскаля тэарэма.

Асновы П.г. закладзены Ж.Дэзаргам у сувязі з развіццём вучэння аб перспектыве і Б.Паскалем пры вывучэнні ўласцівасцей канічных сячэнняў. Як самастойная дысцыпліна выкладзена франц. матэматыкам Ж.​Панселе, які вылучыў праектыўныя ўласцівасці фігур у асобны клас і вызначыў адпаведнасці паміж іх метрычнымі і праектыўнымі ўласцівасцямі. Пры праектаванні (гл. Праекцыя) пунктаў адной плоскасці П на другую П’ не кожны з іх мае вобраз на П’ і наадварот — не кожны пункт П мае правобраз на П. Гэта прывяло да неабходнасці дапаўнення эўклідавай плоскасці бясконца аддаленымі элементамі (няўласнымі пунктамі і няўласнай прамой; гл. Праектыўная плоскасць), што зрабіла праектаванне ўзаемна адназначным. Аналагічна эўклідава прастора пераўтвараецца ў праектыўную прастору. Паняцці «пункт» і «прамая» ў П.г. звязаны паміж сабою адным з асн. паняццяў — інцыдэнтнасцю: пункт і прамая інцыдэнтныя, калі пункт належыць прамой ці (што тое самае) прамая праходзіць праз пункт. Прынцып дваістасці сцвярджае: калі справядліва выказванне ў дачыненні пунктаў, прамых і суадносін інцыдэнтнасці паміж імі, то справядліва і дваістае выказванне, атрыманае з зыходнага, калі памяняць месцамі словы «пункт» і «прамая», напр., двум розным пунктам інцыдэнтная прамая (і прытым толькі адна); двум розным прамым інцыдэнтны пункт (і прытым толькі адзін). Гэты прынцып адлюстроўвае фундаментальную ўласцівасць праектыўнай плоскасці: прамыя і пункты на ёй — цалкам раўнапраўныя геам. аб’екты. П.г. знаходзіць дастасаванні ў намаграфіі, квантавай тэорыі поля, канструяванні пячатных схем і інш.

Літ.:

Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии: Пер. с англ. М., 1970;

Ефимов Н.В. Высшая геометрия. 6 изд. М., 1978;

Алгебра и аналитическая геометрия. Ч. 2. Мн., 1987.

А.​А.​Гусак.

т. 12, с. 541

ПЕРСПЕКТЫ́ВА ў мастацтве,

метад адлюстравання на плоскасці аб’ёмных цел, іх уласнай прасторавай структуры і месцазнаходжання ў прасторы; адзін з асн. элементаў пабудовы кампазіцыі ў творах фігуратыўнага мастацтва. У залежнасці ад маст. стылю і прынятай у пэўную эпоху сістэмы прасторавага бачання, мэты аўтара твора прымалі розныя формы, якія выкарыстоўваюцца і для ўласна арганізацыі прасторы адпаведна зрокаваму ўспрыняццю прадметаў чалавекам, і для выяўлення канцэпцыі светабудовы, узмацнення эмац.-псіхал. ўздзеяння твора, надання выяве ролі сімвала і інш. Выкарыстоўваецца таксама ў арх. праектаванні, чарцяжах будынкаў і комплексаў і інш.

Узнікненню паняцця П. папярэднічалі ўмоўна-сімвалічныя схемы і прыёмы ў мастацтве першабытнасці і Стараж. Усходу, сродкамі якіх характарызавалі ўзаемнае размяшчэнне прадметаў (ярусная кампазіцыя, спалучэнне франтальных і профільных відаў з планамі, маштабныя кантрасты і інш.). У ант. мастацтве пераважалі перспектыўныя пабудовы кампазіцыі. заснаваныя на метадзе праекцыі прасторавых аб’ектаў на пэўную плоскасць з дапамогай размешчаных на адной цэнтр. восі паралельных ліній, якія маюць некалькі пунктаў сыходжання (т.зв. рыбіна косць; у некат. рым. размалёўках выкарыстоўваўся і адзін цэнтр праекцыі). У эпоху сярэднявечча падпарадкаванасць мастацтва рэліг. канонам абумовіла ўзнікненне адваротнай П., якая складалася з некалькіх ізаляваных перспектыўных пучкоў, звернутых вяршыняй не ў глыбіню адлюстроўваемай прасторы, а да гледача, які нібыта знаходзіцца ў розных месцах перад выявай; пры спалучэнні гэтых фрагментаў ствараецца ўражанне ірэальнай прасторы, а павелічэнне памераў асобных аб’ектаў па меры іх аддалення надае выяве сімвалічны сэнс. Паралельна з гэтымі сістэмамі існавала назіральная П. (эмпірычныя навыкі адлюстравання прасторы «на вока», без узгаднення з тэорыяй і канонамі). У мастацтве краін Д. Усходу зрокавыя і практычныя навыкі перадачы прасторы стварылі сістэму паветранай П., якая будавалася праз паслядоўнае памяншэнне выразнасці аддаленых аб’ектаў і змяненне іх колеру ў спалучэнні з выбарам вельмі высокага пункта гледжання («з птушынага палёту») і паралельнай П. (паралельныя лініі не перасякаюцца ў полі зроку). У Еўропе прынцыпы паветр. П. абгрунтаваў і выкарыстоўваў у 15—16 ст. Леанарда да Вінчы, у 19 ст. — імпрэсіяністы. У эпоху Протарэнесанса і Адраджэння выпрацавана і матэматычна абгрунтавана сістэма лінейнай (прамой. навуковай) П., у аснову якой пакладзены метад цэнтр. праекцыі. Лінейная П. лічыцца класічнай, яе асн. прынцыпы найб. пашыраны ў мастацтве 16—20 ст. У канцы 19—20 ст. вырасла цікавасць і да інш. сістэм П., выпрацаваны складаныя метады пабудовы П. на ўнутр. паверхнях цыліндра (панарамная П.), сферы (купальная П.), на плафонах і інш. Правілы П. — адна з асноў методыкі маст. творчасці і адукацыі.

Літ.:

Барышников А.П. Перспектива. 4 изд. М., 1955;

Успенский Б.А. Поэтика композиции. М., 1970;

Раушенбах Б.В. Пространственные построения в живописи. М., 1980.

т. 12, с. 300

ПЛО́ШЧА,

архітэктурна арганізаваная прастора, уключаная ў вулічную сетку населенага пункта і абмежаваная будынкамі, скверамі, паркамі або натуральным рэльефам (бераг ракі, яр, гара). Бываюць П. адм.-грамадскія, тэатр., прывакзальныя, мемарыяльныя (ствараюцца ў гонар вял. гіст. падзей, дзярж. дзеячаў, вучоных, майстроў мастацтва), П. гандл., трансп. і інш. Гал. П. або сістэма П. уваходзяць у склад ядра цэнтра горада, звычайна маюць вял. памеры, значныя прылеглыя пабудовы (адм.-грамадскія будынкі); служаць месцам масавых мерапрыемстваў. П., у кампазіцыю якіх уключаюцца творы архітэктуры, манум. скульптуры і жывапісу, часам утвараюць асн. арх. ансамблі, якія і вызначаюць аблічча населеных месцаў. П. рознага прызначэння могуць мець азеляненне па перыметры, у цэнтр. ч. (партэр) або мяшанае. Партэрная частка П. бывае звычайна ў выглядзе газона ці спалучаецца з дрэва-кустовымі насаджэннямі, кронам якіх надаюць геам. форму, або з курцінамі зялёных масіваў, што абрамляюць П.

Правобразам гар. П. былі парадныя прамавугольныя ў плане двары палацавых і храмавых комплексаў Крыта, Егіпта, Вавілоніі, Асірыі. У Стараж. Грэцыі прамавугольныя ў плане П. — агоры, Рыме — форумы. У сярэдневяковых гарадах П. мела нерэгулярны план, у перыяд барока і класіцызму — чатырохвугольныя, круглыя, складаных абрысаў, шматвугольныя і інш формы, часта сіметрычныя (П. св. Пятра ў Рыме, Трафальгарская ў Лондане, дэ Голя ў Парыжы). У рас. гарадах ствараліся крамлёўскія, гар., саборныя, гандлёвыя плошчы. Выдатныя ўзоры П. у Расіі створаны архітэктарамі класіцызму 18—19 ст. (Тэатральная ў Маскве, Дварцовая плошча ў С.-Пецярбургу і інш.).

На Беларусі П. вядомы са старажытнасці. З развіццём гар. паселішчаў як цэнтраў рамяства і гандлю, гал. ролю ў структуры гарадоў адыгрывалі гандл. П., вядомы яны і ў мястэчках. У 18 ст. ў гарадах на гал. П. узводзілі адм., гандл. і культавыя будынкі, стваралася ансамблевая забудова (Варнянскі архітэктурны ансамбль, Гарадніца, Пастаўскі архітэктурны ансамбль, Полацкая Парадная плошча). У канцы 18 — пач. 19 ст. многія гарады (Барысаў, Бабруйск, Віцебск, Мінск і інш.) былі распланаваны паводле рэгулярнай схемы, кампазіцыйныя восі іх складалі гал. вуліцы, на перасячэнні якіх ствараліся цэнтр. П. З 2-й пал. 20 ст. П. выконваюць ролю грамадскіх цэнтраў, маюць значныя памеры, вылучаюцца ансамблевасцю забудовы (Перамогі плошча, Якуба Коласа, Кастрычніцкая, Прывакзальная ў Мінску, Перамогі плошча ў Віцебску, пл. Цырыманіялаў у Брэсцкай крэпасці-героі, Тэатральная ў Магілёве, Будаўнікоў у Наваполацку).

Літ.:

Заславский Е.Л. Проблема формирования архитектурных ансамблей главных городских площадей // Стр-во и архитектура Белоруссии. 1981. №4;

Общественные центры городских населенных мест БССР. Мн., 1991.

т. 12, с. 433

«ЗБОР ПАСТАНО́Ў УРА́ДА РЭСПУБЛІ́КІ БЕЛАРУ́СЬ»,

гл. ў арт. «Збор дэкрэтаў, указаў Прэзідэнта і пастаноў урада Рэспублікі Беларусь».

«ЗБОР ПО́МНІКАЎ ГІСТО́РЫІ І КУЛЬТУ́РЫ БЕЛАРУ́СІ»,

шматтомнае даведачнае выданне. Выдадзены ў 1984—88 у Мінску на бел. мове ў 7 т. (8 кнігах) як частка ўсесаюзнага шматтомнага выдання «Свод памятников истории и культуры народов СССР». Падрыхтаваны сектарам Збору помнікаў гісторыі і культуры Беларусі Ін-та мастацтвазнаўства, этнаграфіі і фальклору АН Беларусі, Аддзелам археалогіі Ін-та гісторыі АН Беларусі і выд-вам «Беларуская Энцыклапедыя» імя Петруся Броўкі. Уключае артыкулы (больш за 14 тыс.) пра нерухомыя помнікі (гісторыі, археалогіі, архітэктуры, манум. і манум.-дэкар. мастацтва), якія ўцалелі з часоў старажытнасці да сярэдзіны 19 ст., найб. характэрныя для 2-й пал. 19 — пач. 20 ст., даваеннага сав. перыяду (1917—41), найлепшыя арх. збудаванні пасляваен. часу (1950—80-я г.) і знаходзяцца ці павінны знаходзіцца пад аховай дзяржавы. Кожны з тамоў прысвечаны пэўнай вобласці, том, прысвечаны Мінскай вобласці, у дзвюх кнігах, асобны том складаюць помнікі горада Мінска. Матэрыялы ў тамах размешчаны па раёнах (у алфавітным парадку іх назваў); кожны том мае імянны, геагр. і храналагічны паказальнікі. Як самаст. тэрытарыяльная адзінка вылучаецца абл. цэнтр, звесткі пра які змешчаны ў пачатку тома. Унутры раёна першымі размяшчаюцца матэрыялы пра адм. цэнтр, а потым пра помнікі інш. населеных пунктаў (у алфавітным парадку). Артыкулы пра помнікі аднаго населенага пункта падаюцца ў алфавітным парадку іх назваў. Усяго ў выданні 457,6 улікова-выдавецкіх аркушаў, 131 карта, 6817 ілюстрацый, з іх 1420 каляровых. Дзярж. прэмія БССР 1990. У 1990 на рус. мове выдадзены дапоўнены і дапрацаваны том «Збору...» па Брэсцкай вобл.

С.​П.​Самуэль.

«ЗБОР СТАРАЖЫ́ТНЫХ ГРА́МАТ І А́КТАЎ ГАРАДО́Ў: ВІ́ЛЬНІ, КО́ЎНА, ТРОК»

(«Собрание древних грамот и актов городов: Вильны, Ковна, Трок...»),

зборнік дакументаў 14—18 ст., выдадзены ў Вільні ў 1843. Складаецца з 2 частак, у 1-й змешчаны прывілеі Вільні, у 2-й — акты, што тычацца манастыроў, цэркваў і брацтваў. Матэрыялы адабраны з архіваў Гал. літоўскага трыбунала, цэркваў і манастыроў Вільні і Трок, скарыстаны архівы Віленскай і Ковенскай дум, Трокскай ратушы, павятовых судоў Браслаўскага і Расіенскага пав. У прадмове да зборніка сфармуляваны погляды на развіццё дачыненняў усх.слав. народаў з літоўцамі.

«ЗБОР СТАРАЖЫ́ТНЫХ ГРА́МАТ І А́КТАЎ ГАРАДО́Ў МІ́НСКАЙ ГУБЕ́РНІ»

(«Собрание древних грамот и актов городов Минской губернии...»),

зборнік дакументаў пач. 16 ст. — 1748, выдадзены ў 1848 у Мінску. Змяшчае дакументы пераважна з архіваў мінскіх манастыроў, а таксама з Бабруйска, Навагрудка, Пінска, Рэчыцы і Слуцка. Матэрыялы асвятляюць у асн. гісторыю правасл. царквы, некаторыя з іх і сац.-эканам. пытанні. Дакументы надрукаваны па арыгіналах.

т. 7, с. 30

МЕЛО́ДЫЯ (ад грэч. melōdia спевы, напеў, песня, мелодыя),

асноўны выразны сродак музыкі, у якім у непарыўным адзінстве суіснуюць гукавышынны (уласна меладычны), рытмічны і ладавы бакі. Канкрэтныя мелодыі валодаюць таксама тэмбравай, рэгістравай, дынамічнай і агагічнай выразнасцю. Інтанацыйная прырода М. (гл. Інтанацыя) надае ёй нац., жанравую, часткова сац. характэрнасць, збліжае з чалавечай мовай, што выяўляецца ў гукавым вырашэнні, асэнсаванай расчлянёнасці на матывы («словы»), фразы і сказы, у яе змястоўнай і камунікатыўнай функцыях. Цэласнасць, пластычнасць і злітнасць М. як найважнейшага сэнсавага кампанента музыкі забяспечвае аб’яднанне ў ёй характэрных інтанацый (пытання, воклічу, сцвярджэння і інш.) з агульнымі формамі паступеннага меладычнага руху. Суадносіны гэтых момантаў вызначаюцца стылем і жанрам М., яе прыналежнасцю да пэўнага тыпу — рэчытатыўна-дэкламацыйнага, арыёзнага, кантыленнага. Вакальная першааснова М. (залежнасць ад дыхання і галасавога апарата) выяўляецца ў асаблівасцях яе структуры і дынамічнага разгортвання, уласцівых вак. і інстр. мелодыцы, розным стылям, жанрам і меладычным тыпам. Гэта — хвалевая будова («меладычнае дыханне») і натуральнае ўзмацненне дынамікі пры пераходзе ў верхні рэгістр, а пры зыходным руху і вяртанні ў першапачатковы рэгістр — яе аслабленне. Выразнасць канкрэтнай М. ў многім залежыць ад віду меладычнай хвалі (прамой ці зваротнай), яе працягласці, размяшчэння кульмінацыйнага пункта — у пачатку (т.зв. «вяршыня-крыніца», у высокай ступені ўласцівая ўсх.-слав. песеннасці), сярэдзіне або ў канцы хвалі, а таксама ад рытмічнай і ладавай арганізацыі, але перш-наперш ад інтанацыйнага зместу. У нар. і прафес. музыцы аднагалосая М. нярэдка выступае ў тэрцовых, секставых і інш. дубліроўках. У фальклоры найб. пашырана тэрцовая ўтора, у прафес. музыцы — разнастайныя акордавыя згушчэнні, што ўтвараюць свайго роду шматгалосую мелодыю. Роля М. неаднолькавая ў поліфаніі, гамафоніі, манодыі. У поліфаніі М. адначасова спалучаецца з інш. раўнапраўнымі ёй галасамі. У гамафонных творах М. — вядучы голас, утварае першы план на фоне гарманічнага суправаджэння. У манадычных стылях нар., стараж. культавай, класічнай музыкі народаў Усходу М. — адзіны і паўнацэнны носьбіт маст. зместу. Прафес. музыка 20 ст. характарызуецца выключнай разнастайнасцю меладычных стыляў, у якіх адлюстраваны заканамернасці архаічных фальклорных слаёў і сучасныя складаналадавыя, новамадальныя, дадэкафонныя і інш. структуры. У бел. музыказнаўстве асн. ўвага даследаванняў скіравана на выяўленне меладычных асаблівасцей бел. нар. музыкі і іх ператварэнне ў прафес. музыцы ў крыніцу нац. спецыфікі.

Літ.:

Мазель Л.А. О мелодии. М., 1952;

Ручьевская Е. Мелодия сквозь призму жанра // Критика и музыкознание. Л., 1980. Вып. 2;

Корчмар Л.О. Учение о мелодии в XVIII в. // Вопросы теории музыки. М., 1970. Вып. 2;

Арановский М.Г. Синтаксическая структура мелодии. М., 1991;

Елатов В.И. Мелодические основы белорусской народной музыки. Мн., 1970;

Титова Т.А. О современных аспектах термина «мелодия» // Вопросы методологии современного музыкознания. М., 1997.

Н.​М.​Юдзеніч.

т. 10, с. 276

АБАРО́НЧЫЯ ЗБУДАВА́ННІ,

штучныя перашкоды, прызначаныя для доўгатэрміновай абароны нас. пункта ці пэўнай тэрыторыі ад праціўніка.

Найб. стараж. абарончыя збудаванні — агароджы з дрэва, зямлі ці камянёў, равы, валы. У Стараж. Рыме стваралі ўмацаваныя ваен. пасяленні — лагеры. На ўскраінах Рым. імперыі будавалі т.зв. рымскія валы (Адрыянаў вал, Антанінаў вал, Траянаў вал). Разнастайныя тыпы абарончых збудаванняў ствараліся ў сярэднявеччы: для абароны замкаў, манастыроў (земляныя валы, равы, крапасныя драўляныя і мураваныя сцены, вежы з байніцамі і машыкулямі, брамы з герсамі, барбаканы), аховы вял. тэрыторый (Вялікая Кітайская сцяна, «Вялікая засечная мяжа» на паўд. межах Рас. дзяржавы ў 16—17 ст. і інш.). Своеасаблівыя тыпы абарончых збудаванняў — дзядзінец, крэмль, замак.

Першыя абарончыя збудаванні на тэр. Беларусі — гарадзішчы, з’явіліся ў жал. веку (7 ст. да н.э. — 4 ст. н.э.). Паступова яны ўскладняліся ад простых драўляных агароджаў па краях да шматрадных драўляна-земляных умацаванняў. З развіццём гарадоў (9—13 ст.) гал. Абарончымі збудаваннямі сталі равы, драўляныя сцены і вежы (Полацк, Тураў, Віцебск, Мінск). У 12 ст. з’явіліся мураваныя вежы з выкарыстаннем у муроўцы валуноў (Гродна). З пераходам да тактыкі прамога штурму і аблогі ў 13 ст. сфарміравалася новая сістэма абароны горада, у аснове якой была вежа-данжон у драўляным ці мураваным замку (гл. Навагрудскія замкі, Камянецкая вежа, Тураўская вежа і інш.). У сярэдзіне 16 ст. з пашырэннем агнястрэльнай зброі ствараліся замкавыя комплексы (Мірскі замак, Нясвіжскі замак), узнікла фартыфікацыя, удасканальваліся традыц. драўляна-земляныя ўмацаванні. У Віцебску, Полацку, Магілёве, Слуцку, Брэсце, Рэчыцы і інш. існавала некалькі ліній абароны, якія ахоплівалі цэнтр горада і пасады. Абарончыя прыстасаванні мелі многія грамадзянскія збудаванні — ратушы, сядзібы, дамы-крэпасці, а таксама цэрквы, касцёлы, кляштары, манастыры, сінагогі. Іх сцены будаваліся высокія і тоўстыя, па кутах будынкаў ці над уваходам ставіліся баявыя вежы з байніцамі, уваходы дадаткова засцерагаліся бабінцамі, каванымі дзвярыма, пад’ёмнымі кратамі-герсамі. Вакол будынкаў узводзіліся валы з драўлянымі ці мураванымі сценамі, вежамі або бастыёнамі. Адзін з першых умацаваных храмаў на Беларусі — Полацкі Сафійскі сабор. Аналагічнымі абарончымі храмамі былі Супрасльская царква-крэпасць, Сынкавіцкая царква-крэпасць, Мураванкаўская царква-крэпасць, Камайскі касцёл і інш. У 19 ст. ўзніклі фортавыя абарончыя збудаванні (гл. Крэпасць) з вынесенымі на 1—2 км наперад ад цэнтр. ўмацавання фортамі (Брэсцкая крэпасць, Бабруйская крэпасць). У 1-й пал. 20 ст. ствараліся ўмацаваныя раёны і палосы абароны (напр., Беларуская прыгранічная паласа абароны).

Літ.:

Ткачоў М.А. Замкі Беларусі (XIII—XVII ст.). Мн., 1977;

Яго ж. Абарончыя збудаванні заходніх зямель Беларусі XIII—XVIII стст. Мн., 1978.

М.​А.​Ткачоў.

т. 1, с. 14

ГЕАМЕ́ТРЫЯ (ад геа... + ...метрыя),

раздзел матэматыкі, які вывучае прасторавыя дачыненні і формы цел, а таксама інш. дачыненні і формы, падобныя да прасторавых паводле сваёй структуры. Узнікла з практычных патрэб чалавека для вызначэння адлегласці, вуглоў, плошчаў, аб’ёмаў і інш. Без геаметрыі немагчыма развіццё астраноміі, геадэзіі, картаграфіі, крышталяграфіі, адноснасці тэорыі і ўсіх графічных метадаў. Геам. тэорыі выкарыстоўваюцца ў механіцы і фізіцы: магчымыя канфігурацыі (узаемнае размяшчэнне элементаў) мех. сістэмы ўтвараюць «канфігурацыйную прастору» (рух сістэмы адлюстроўваецца рухам пункта ў гэтай прасторы); сукупнасць станаў фіз. сістэмы разглядаецца як «фазавая прастора» сістэмы і інш.

Асн. паняцці геаметрыі (лінія, паверхня, пункт, цела геаметрычнае) узніклі ў выніку абстрагавання ад інш. уласцівасцей цел (напр., масы, колеру). Параўнанне цел абумовіла ўзнікненне паняццяў даўжыні, плошчы, аб’ёму, меры вугла. Самыя простыя геам. звесткі і паняцці былі вядомы ў стараж. Егіпце, Вавілоне, Кітаі, Індыі; геам. палажэнні фармуляваліся ў выглядзе правіл з элементарнымі доказамі або без доказаў. Самастойнай навукай геаметрыя стала ў Стараж. Грэцыі (5 ст. да н.э.); геаметрыя ў аб’ёме, які прыкладна адпавядае сучаснаму курсу элементарнай геаметрыі, выкладзена ў «Пачатках» Эўкліда (3 ст. да н.э.). Развіццё астраноміі і геадэзіі прывяло да стварэння плоскай (гл. Трыганаметрыя) і сферычнай трыганаметрыі (1—2 ст. да н.э.). Інтэнсіўнае развіццё геаметрыі пачынаецца з 17 ст.: Р.Дэкарт прапанаваў метад каардынат; І.Ньютан і Г.Лейбніц стварылі дыферэнцыяльнае і інтэгральнае злічэнне, што дало магчымасць вывучаць геам. аб’екты метадамі алгебры і аналізу бясконца малых (гл. Алгебраічная геаметрыя, Аналітычная геаметрыя, Дыферэнцыяльная геаметрыя); Ж.Дэзарг і Б.Паскаль заклалі асновы праектыўнай геаметрыі. У працах Г.Монжа (18 ст.) сучасны выгляд набыла нарысоўная геаметрыя. У 1826 М.А.Лабачэўскі пабудаваў геаметрыю на аснове сістэмы аксіём, якія адрозніваюцца ад эўклідавай толькі аксіёмай аб паралельных прамых (гл. Лабачэўскага геаметрыя). Стала магчымым будаванне разнастайных прастораў з рознымі геаметрыямі (гл., напр., Неэўклідавы геаметрыі), сістэматызацыя якіх магчыма з дапамогай груп тэорыі. Пасля гэтага павялічылася роля і пашырылася выкарыстанне аксіяматычнага метаду. У 1872 Ф.Клейн сфармуляваў новае тлумачэнне геаметрыі як навукі аб уласцівасцях, інварыянтных адносна зададзенай групы пераўтварэнняў. Паралельна развіваўся логікавы аналіз асноў геаметрыі, высвятляліся пытанні несупярэчлівасці, мінімальнасці і паўнаты сістэмы аксіём. Вынікі гэтых работ падвёў Д.Гільберт у кн. «Асновы геаметрыі» (1899). У працах сав. матэматыкаў П.​С.​Аляксандрава, Л.​С.​Пантрагіна, П.​С.​Урысона развіваліся асн. кірункі тапалогіі. Кірунак «Геаметрыя ў цэлым» заснавалі сав. матэматыкі А.​Д.​Аляксандраў, М.​У.​Яфімаў, А.​Б.​Пагарэлаў.

На Беларусі станаўленне геаметрыі пачалося ў 1930-я г. Атрыманы важныя вынікі ў праблеме ўкладання рыманавых прастораў у эўтслідавы і рыманавы прасторы (Ц.Л.Бурстын); метадамі вонкавых форм даследаваны лініі і паверхні Картана ў неэўклідавых прасторах (Л.​К.​Тутаеў); адкрыты клас аднародных прастораў і распрацавана іх тэорыя (В.​І.​Вядзернікаў, А.​С.​Фядзенка, Б.​П.​Камракоў).

Літ.:

Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М., 1990;

Алгебра и аналитическая геометрия. Ч. 1. Мн., 1984;

Дифференциальная геометрия. Мн., 1982;

Феденко А.С. Пространства с симметриями. Мн., 1977.

А.​А.​Гусак.

т. 5, с. 121

ДЫФЕРЭНЦЫЯ́ЛЬНЫЯ ЎРАЎНЕ́ННІ,

ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі, іх вытворныя любых парадкаў і незалежныя пераменныя. Уведзены ў матэматыку І.Ньютанам і Г.Лейбніцам. Іх сістэматычнае вывучэнне пачаў Л.Эйлер. У 19 ст. Д.ў. сталі самастойнай матэм. дысцыплінай. Заснавальнікі сучаснай тэорыі Д.у. — А.М.Ляпуноў, У.А.Сцяклоў і інш.

Змена масы m радыеактыўнага рэчыва з каэфіцыентам распаду k за прамежак часу dt выражаецца Д.у. dm = kmdt (1). Тэмпература U = U(x, y, z), што ўстанавілася ў кожным пункце (x, y, z) цела, на мяжы якога падтрымліваецца зададзены цеплавы рэжым, задавальняе Д.ў. $\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$ (2).

Д.ў. віду (1) — звычайнае Д.ў. (змяшчае функцыю аднаго пераменнага), віду (2) — Д.ў. ў частковых вытворных (змяшчае вытворныя невядомай функцыі па розных пераменных). Парадак Д.ў. вызначаецца вытворнай самага высокага парадку ў гэтым ўраўненні Кожнае Д.ў. вызначае адразу цэлую сям’ю рашэнняў, залежную ад лікавых ці функцыянальных параметраў; яно выражае некаторы агульны закон, якому падпарадкоўваецца мноства канкрэтных працэсаў. Для вылучэння асобнага працэсу задаюць дадатковыя ўмовы, найчасцей — краявыя (пачатковыя і гранічныя). Для рашэння (1) задаецца пачатковае значэнне — маса m(0) = m₀. Рашэнне (2) вызначаецца, напр., гранічнымі значэннямі — размеркаваннем тэмпературы на паверхні цела. Звычайнае лінейнае Д.ў. або сістэму гэтых Д.у. увядзеннем дапаможнай функцыі можна запісаць у выглядзе x′ = P(t)x + φ(t), дзе P — матрыца каэфіцыентаў, φ — вектар свабодных членаў, x = x(t) — вектар-функцыя. Калі Y — квадратычная матрыца, якая складаецца з незалежных рашэнняў адпаведнай аднароднай сістэмы (φ ≡ 0), а x* — адно з рашэнняў прыведзенага Д.ў., тады ўсе яго рашэнні дае формула x = x* + Yc, дзе c — адвольны пастаянны вектар. У шэрагу выпадкаў, напр. пры пастаяннай P, пабудова x* і Y зводзіцца да алгебраічных аперацый і інтэгравання. Існуюць і нелінейныя Д.ў., якія рашаюцца з дапамогай канечнага ліку прасцейшых аналітычных аперацый. Напр., калі M_y′= M_x′ тады ўсе рашэнні M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 дае формула ∫M(x,y)dx + N(x,y)dy = c, дзе c — адвольная пастаянная. Калі Д.ў. зададзена з дапамогай аналітычных функцый, тады рашэнне выяўляецца таксама аналітычнай функцыяй, раскладаецца ў ступенны рад каля кожнага неасаблівага пункта і знаходзіцца метадам неакрэсленых каэфіцыентаў. Вызначэнне рашэння Д.ў. ці сістэмы Д.у. x′ = ƒ(t,x) з зададзенай пачатковай умовай x(t₀) = x₀ раўназначнае рашэнню інтэгральных ураўненняў тыпу: $x\text{(}t\text{)}=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}ƒ\text{[}s,x\text{(}s\text{)}\text{]}ds$ (3). Калі ƒ неперарыўная функцыя, то (3) мае хоць бы адно рашэнне. Калі, акрамя гэтага, неперарыўная ƒ′_x, то рашэнне (3) адзінае і яго можна знайсці з дапамогай ітэрацый. Метад ітэрацый разам з метадам раздзялення пераменных, з метадам малога параметра і інш. ўжываецца і пры рашэнні Д.ў. з частковымі вытворнымі. Прыбліжанае рашэнне Д.ў. атрымліваюць, замяняючы ў Д.у. вытворныя адносінамі прырашчэнняў і пераходзячы да ўраўненняў у канечных рознасцях. Тэорыя Д.ў. выкарыстоўваецца ў варыяцыйным злічэнні, у тэорыі аптымальных працэсаў, у тэорыі кіравання рухам і ў большасці раздзелаў прыкладной матэматыкі. Вывучэнне краявых задач для Д.у. з частковымі вытворнымі — гал. частка матэм. фізікі.

На Беларусі развіццё тэорыі Д.у. звязана з імем М.П.Яругіна; распрацоўка новых раздзелаў тэорыі Д.у., арыентаваных на тэорыю кіравання, пачата ў 1966 Я.А.Барбашыным. Даследаванні па Д.у. вядуцца ў Ін-це матэматыкі Нац. АН Беларусі, БДУ і інш. (І.В.Гайшун, М.А.Ізобаў, Э.І.Груда, Ф.М.Кірылава, В.І.Карзюк і інш.). У Мінску выдаецца міжнар. навуковы час. «Дифференциальные уравнения».

Літ.:

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3 изд. Мн., 1979;

Яго ж. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн., 1963;

Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.

Ю.​С.​Багданаў, М.​А.​Ізобаў.

т. 6, с. 301

КАМПАЗІ́ЦЫЯ (ад лац. compositio састаўленне, стварэнне),

пабудова маст. твора, абумоўленая яго зместам, характарам і прызначэннем; структура і ўзаемасувязь маст. элементаў, што ў вял. ступені вызначаюць лад, сэнс і ўспрыняцце твора, надаюць яму цэласнасць. Праз кампазіцыйнае адзінства кампанентаў твора аўтар перадае ідэйна-вобразны змест, творчую індывідуальнасць, эстэт. прынцыпы эпохі, стылю, маст. кірунку, выяўляе істотнае праз сувязь з другарадным і інш. У пластычных мастацтвах К. арганізуе і ўнутр. пабудову твора, і яго суадносіны з навакольным асяроддзем, каардынуе яго ўспрыняцце гледачом. У К. існуе адзін або некалькі фармальна-ідэйных цэнтраў, арганічна звязаных з інш. часткамі і дэталямі праз рытмы, кантрасты, каларыт, сіметрыю ці асіметрыю, рэальнае ці ілюзорнае фарміраванне прасторы і аб’ёму, маштаб, прапорцыі і інш.

У выяўленчым мастацтве К. — канкрэтная распрацоўка ідэйнай і сюжэтна-тэматычнай асновы твора. Арганізуе размяшчэнне і суадносіны фарбавых плям, ліній святла і ценю, прапорцыі мас матэрыялаў і інш. Бывае ўстойлівая, або статычная (асн. кампазіцыйныя восі перасякаюцца пад прамым вуглом у геам. цэнтры твора), дынамічная (асн. восі перасякаюцца пад вострымі вугламі, пераважаюць дыяганалі, кругі і авалы), адкрытыя (пераважаюць цэнтрабежныя рознаскіраваныя сілавыя лініі) і закрытыя пераважаюць цэнтраімклівыя сілы, што зводзяць выявы да кампазіцыйнага цэнтра). Устойлівыя і закрытыя тыпы К. пераважалі ў мастацтве Адраджэння, дынамічныя і адкрытыя — у барока. Асаблівасцямі кампазіцыйнай будовы вызначаюцца творы сярэдневяковага мастацтва і іканапісу. У гісторыі мастацтва вял. ролю адыгралі і працэсы складання агульнапрынятых кампазіцыйных канонаў розных стыляў і эпох, і адыход ад жорсткіх кананічных схем да свабодных кампазіцыйных прыёмаў у мастацтве 19—20 ст.

У архітэктуры і горадабудаўніцтве К. — гарманічныя суадносіны ідэйна-маст. прынцыпаў, функцыян. прызначэння, канстр. асаблівасцей і горадабуд. ролі будынкаў, збудаванняў і іх комплексаў. Вызначае арх. аблічча, планіровачную пабудову населенага пункта ў цэлым або арх. ансамбля ці асобнага будынка. Найб. пашыраныя сродкі К. для гарманізацыі прасторавых форм — сіметрыя і асіметрыя, кантраст і нюанс, рытм, суразмернасць частак і цэлага, прапорцыі, маштабнасць, вылучэнне гал. ў К., святло, колер, фактура. Арган. адзінства прынцыпаў К. і функцыян.-канстр. асновы арх. дэкору стварае архітэктоніку збудавання.

Асн. прыёмы К. ў горадабудаўніцтве: цэнтрычны — у планіровачнай структуры вызначаецца кампазіцыйны цэнтр; анфіладны — шэраг прасторава раскрытых адна да адной плошчаў, якія ўтвараюць сістэму арх. ансамбляў; магістральны — спалучэнне прасторава ўзаемазвязаных ансамбляў, размешчаных на адной восі; панарамна-групавы — групы арх. ансамбляў вызначаюць кампазіцыйную будову і сілуэт горада. Сярод тыпаў аб’ёмна-прасторавай К. будынкаў і збудаванняў вылучаюць: замкнёную (групуе аб’ёмы будынка вакол унутр. двара), паўзамкнёную (П-падобная групоўка карпусоў), цэнтрычную (памяшканні будынка групуюць вакол гал. цэнтр. аб’ёму, вылучанага шатром, купалам), падоўжна-восевую (гал. прасторавае ядро развіваецца ў глыбіню плана будынка), кампактную (памяшканні групуюцца вакол вял. прастораў, якія не маюць натуральнага асвятлення), адкрытую (асн. памяшканні будынкаў маюць кантакт з навакольным асяроддзем і натуральнае асвятленне). Сучасная архітэктура вызначаецца свабоднымі, арганічнымі К., разнастайнымі аб’ёмна-планіровачнымі вырашэннямі і арх. формамі.

У літаратуры К. — арганізацыя маст. матэрыялу ліг. твора, спосаб увасаблення маст. ідэі, раскрыцця характараў. У прозе выяўляецца ў размяшчэнні і ўзаемасувязі ўсіх кампанентаў (апісанняў, партрэтаў, дыялогаў, унутр. мовы, аўтарскіх адступленняў, характарыстык і інш.), цесна звязана з сюжэтам. Адрозніваюць адна- і шматпланавы, навелістычны і хранікальны тыпы К. Вылучаюць элементы К. — экспазіцыю (пралог), завязку (развіццё дзеяння), кульмінацыю, развязку і эпілог. Кірунак развіцця дзеяння ў К. можа быць храналагічна паслядоўны, або прамы, і рэтраспектыўны, ці інверсійны. Асаблівасці К. вызначаюцца таксама прасторавай і часавай арганізацыяй дзеяння ў творы. У паэзіі аснову лірычнай К. складае сюжэт; уключае ў сябе размеркаванне рытміка-меладычных адпаведнікаў, радкоў, строф, а таксама назву твора, эпіграфы, прысвячэнні. Лірычную К. разнастаіць выкарыстанне тропаў, паэт. сінтаксісу і інш.

У музыцы К. — муз. твор як вынік творчага акта кампазітара, стварэнне музыкі як від маст. творчасці, структура муз. твора (гл. Форма музычная), вучэбная дысцыпліна ў спец. вышэйшых і сярэдніх муз. навуч. установах (выкладаецца звычайна кампазітарам). Курс К. прадугледжвае авалоданне ўсімі асн. муз. жанрамі і формамі, ад найпрасцейшых да найб. складаных (опера, сімфонія, араторыя). У класе К. студэнты рэалізуюць і веды па муз.-тэарэт. дысцыплінах. Паняцце К. як закончанага маст. цэлага выпрацоўвалася ў працэсе памяншэння ролі імправізацыйнага пачатку і ў дасканалення нотнага запісу (сучасны сэнс мае з 13 ст.).

Літ.:

Композиция в современной архитектуре. М., 1973.

Я.​Ф.​Шунейка, А.​А.​Дылейка, С.​А.​Сергачоў (архітэктура і горадабудаўніцтва).

т. 7, с. 534

ПРАСТО́РА І ЧАС у фізіцы,

фундаментальныя паняцці, якія адлюстроўваюць формы існавання і спосабы каардынацыі з’яў, працэсаў, аб’ектаў і іх станаў. Базісны прасторава-часавы аб’ект — падзея, якая вызначаецца адносна сістэмы адліку заданнем 3 прасторавых каардынат і 1 часавай каардынаты. Сувязь паміж прасторавымі і часавымі характарыстыкамі розных падзей вызначае геам. ўласцівасці прасторава-часавай разнастайнасці.

Фіз. паняцці П. і ч. ўзніклі на аснове натурфіласофскіх уяўленняў аб іх сутнасці (гл. Прастора і час у філасофіі) і прасторава-часавых уяўленняў, заснаваных на мех. практыцы аперыравання з жорсткімі і пругкімі целамі. У класічнай механіцы існуе дваістасць апісання П. і ч., дзе разам з абсалютнымі ёсць і адносныя П. і ч. Паводле Ньютана, абсалютныя П. і ч. — ідэальныя формы, якія маюць матэм. выраз, адносныя П. і ч., даступныя вымярэнню працягласці матэрыяльных аб’ектаў (у прасторы) і назіраных з’яў (у часе). Такая дваістасць у фізіцы захоўваецца да нашага часу. П. і ч. рэальных аб’ектаў у фізіцы не заўсёды супадае з П. і ч: тэарэт. (ідэальных) аб’ектаў, якія апісваюць адпаведную прадметную вобласць. У аксіёмы, што вызначаюць геаметрыю класічных П. і ч., уключаецца кінематычны пастулат — прынцып адноснасці, які сцвярджае раўнапраўнасць інерцыяльных сістэм адліку, вызначае метрычныя ўласцівасці фіз. П. і ч., а таксама абмяжоўвае выбар дапушчальных дынамічных тэорый. Прынцып адноснасці Эйнштэйна адрозніваецца ад прынцыпу адноснасці Ньютана тым, што значэнне адноснай скорасці інерцыяльнай сістэмы адліку абмежавана зверху. Матэматычна гэты прынцып фармулюецца як патрабаванне інварыянтнасці дынамічных ураўненняў фізікі адносна груп пераўтварэнняў прасторава-часавых каардынат (групы Галілея і групы Пуанкарэ адпаведна). У абодвух выпадках П. і ч. аб’ядноўваюцца ў адзіны геам. аб’ект — чатырохмерную прастору. Пры гэтым прастора-час спецыяльнай адноснасці тэорыі — Мінкоўскага прастора-час з’яўляецца чатырохмернай псеўдаэўклідавай прасторай у адрозненне ад прасторы-часу Галілея — Ньютана, якая наогул не з’яўляецца эўклідавай. У абодвух выпадках меркаванні аб аднароднасці часу і аднароднасці і ізатропнасці прасторы звязаны з захавання законамі энергіі, імпульсу і моманту імпульсу адпаведна. Дапушчальнасць бясконцасці скорасці распаўсюджвання ўзаемадзеяння ў прасторы-часе Галілея-Ньютана ўзгадняецца з уключэннем у лік ідэальных аб’ектаў ньютанаўскай механікі абсалютна цвёрдых цел і магчымасці абсалютнай (незалежнай ад выбару інерцыяльнай сістэмы адліку) сінхранізацыі нерухомых і рухомых ідэальных гадзіннікаў. Усе пункты трохмернай прасторы могуць назірацца адначасова, у якасці эталона даўжыні выбрана цвёрдае цела (парыжскі метр), вымярэнне часу заснавана на меркаванні аднолькавай працягласці аднолькавых фіз. працэсаў. Вобласць выкарыстання прасторы-часу Галілея — Ньютана абмежавана нерэлятывісцкай класічнай, квантавай і статыстычнай механікамі, а таксама электра- і магнітастатыкай. У спец. тэорыі адноснасці існуе верхняя мяжа скорасці — скорасць святла ў вакууме, аднолькавая для ўсіх сістэм адліку, і таму немагчыма абсалютная сінхранізацыя нават ідэальных гадзіннікаў, паняцце адначасовасці падзей мае сэнс адносна пэўнай інерцыяльнай сістэмы адліку, сярод ідэальных аб’ектаў няма абсалютна цвёрдых цел. За эталон даўжыні прынята адлегласць, якую праходзіць святло за адзінку часу, эталонам часу служыць велічыня, адваротная частаце святла, выпрамененага эталоннай крыніцай. Прастора-час Мінкоўскага распадаецца для кожнага назіральніка на абсалютнае мінулае, абсалютнае будучае і абсалютнае аддаленае (унутранасць і знешнасць светлавога конуса), яна выкарыстоўваецца як базавая ў рэлятывісцкай класічнай і квантавай механіках, квантавай тэорыі моцных і электраслабых узаемадзеянняў. ідэальныя аб’екты гэтых тэорый не заўсёды маюць аналагі сярод рэчаісных аб’ектаў. У агульнай тэорыі адноснасці (АТА) прынцып адноснасці пашыраецца да патрабавання каварыянтнасці ўраўненняў адносна адвольных пераўтварэнняў усіх чатырох каардынат, у якасці ідэальнага аб’екта служыць метрыка прасторы-часу, пад якой разумеюць гравітацыйнае поле, крыніцай якога з’яўляецца тэнзар энергіі — імпульсу матэрыі. У гэтым сэнсе АТА устанаўлівае залежнасць метрыкі прасторы-часу ад уласцівасцей гравітавальнай матэрыі. Прастора-час у АТА неаднародная і неізатропная, яе тапалогія можа быць сінгулярнай (гл. Сінгулярнасць). Паводле сучасных уяўленняў з гравітацыйнай сінгулярнасці ў выніку Вялікага Выбуху нарадзіўся Сусвет. Мадэль пашыральнага Сусвету належыць да ідэальных аб’ектаў фізікі, які змяняецца ў часе. Асн. ўласцівасць такіх аб’ектаў — неабарачальнасць іх дынамікі ў часе. Існуюць таксама эксперым. ўказанні на магчымую неабарачальнасць у часе некаторых працэсаў у фізіцы элементарных часціц. Даказана, што Прырода несіметрычная адносна адлюстраванняў прасторавых каардынат і аддае перавагу то левай, то правай спіральнасці. Пры тэарэт. апісанні працэсаў у мікрасвеце ці на пачатковай стадыі Вялікага Выбуху даводзіцца аперыраваць з часавымі і прасторавымі інтэрваламі, для вымярэння якіх не існуе прылад (няяўна прымаецца гіпотэза бясконцай падзельнасці П. і ч.). Разглядаюцца мадэлі з дыскрэтнай прасторай-часам, з лікам прасторава-часавых вымярэнняў, большым за 4. Існуюць струнныя мадэлі, дзе ідэальным аб’ектам служыць аднамерная струна замест пункта, які не мае вымярэнняў. Мяркуюць, што менавіта струнныя мадэлі дазволяць зрабіць агульнае апісанне гравітацыйных, моцных і электраслабых узаемадзеянняў і тым самым істотна пашырыць нашы ўяўленні аб прасторы і часе.

Літ.:

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. 2 изд. М., 1961;

Пуанкаре А. О науке: Пер. с фр. 2 изд. М., 1990;

Минковский Г. Пространство и время // Принцип относительности. М., 1973;

Берке У. Пространство—время, геометрия, космология: Пер. с англ М., 1985;

Хокинг С., Пенроуз Р. Природа пространства и времени: Пер. с англ. Ижевск, 2000;

Степин В.С. Теоретическое знание. М., 2000.

Я.​А.​Талкачоў, Л.​М.​Тамільчык.

т. 13, с. 20