Verbum

КРАЯВА́Я ЗАДА́ЧА ў матэматыцы, межавая задача, гранічная задача, задача спалучэння,

задача адшукання функцыі, якая задавальняе ў зададзеным абсягу некат. дыферэнцыяльнае ўраўненне (звычайнае або ў частковых вытворных), а на мяжы (краі) абсягу — некаторую ўмову (краявую, гранічную або ўмову спалучэння). Умова вынікае з фіз. прыроды працэсу, апісанага дадзеным дыферэнцыяльным ураўненнем.

Самая простая К.з. — вызначэнне на зададзеным адрэзку рашэння звычайнага лінейнага дыферэнцыяльнага ўраўнення, якое задавальняе на краі адрэзка пэўныя ўмовы. Для ўраўнення ў частковых вытворных класічныя К.з. — К.з. для Лапласа ўраўнення — самага простага выпадку вял. групы ўраўненняў у частковых вытворных (ураўненняў эліптычнага тыпу). Адзін з асн. метадаў рашэння К.з. для ўраўненняў эліптычнага тыпу — прывядзенне іх да інтэгральнага ўраўнення тыпу Фрэдгальма. Значны раздзел сучаснай тэорыі К.з. — К.з. для аналітычных функцый, у якіх шукаецца аналітычная ў абсягу функцыя (ці сістэма функцый), што задавальняе на мяжы абсягу некат. краявую ўмову. К.з. маюць шматлікія дастасаванні ў механіцы, тэорыі пругкасці, электрадынаміцы і інш. Гл. таксама Ураўненні матэматычнай фізікі.

На Беларусі сістэматычныя даследаванні па тэорыі К.з. праводзяцца з 1950-х г. у Ін-це матэматыкі Нац. АН, БДУ і інш.

Літ.:

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 4 изд. М., 1972;

Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3 изд. М., 1977.

Ф.​Дз.​Гахаў, Э.​І.​Звяровіч.

т. 8, с. 471

ДЭТЭРМІНА́НТ, вызначнік, алгебраічны выраз, складзены паводле пэўнага правіла з n​² лікаў, дзе n — парадак дэтэрмінанта. Д. квадратнай матрыцы $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \text{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \text{...}& a_{2n}\\ \text{.}& \text{.}& \text{...}& \text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{...}& a_{nn}\end{array}\right|$ з n​² элементы a_ik (i — нумар радка, k — нумар калонкі, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ n) наз. алг. сума $\sum \pm \begin{array}{cccc}{a}_{1j_1}& a_{2j_2}& \text{...}& a_{n{j}_n}\end{array}$ усіх здабыткаў элементаў гэтай матрыцы, узятых па аднаму з кожнага радка і з кожнай калонкі. Складаемаму a_1j1, a_2j2 ... a_njn прыпісваецца знак «+», калі перастаноўка j₁, j₂, ..., j_n лікаў 1, 2, ... n мае цотную колькасць інверсій, і знак «−», калі колькасць інверсій у ёй няцотная. Напр., Д. 2-га парадку $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$ $=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$ .

Лічаць, што: радок (калонка) Д. памнажаецца на лік α, калі кожны элемент гэтага радка (калонкі) памнажаецца на α; складваюцца 2 радкі (калонкі) Д., калі складваюцца адпаведныя элементы гэтых радкоў (калонак), якія стаяць у адной калонцы (радку); да i-га радка (калонкі) Д. дадаецца яго k-ы радок (калонка), калі i-ы радок (калонка) замяняецца сумай i-га і k-га радкоў (калонак); робіцца лінейная камбінацыя радкоў (калонак) Д., калі кожны i-ы радок (калонка) множыцца на адвольны лік a_i і складваюцца атрыманыя радкі (калонкі). Д. мае шэраг уласцівасцей, якія аблягчаюць яго вылічэнне: калі элементы a_kj k-га радка Д. d ёсць сумы двух складаемых a_kj = b_j + c_j, то Д. d роўны суме двух Д. d = d₁ + d₂, якія адрозніваюцца ад d толькі k-м радком: b₁, b₂ ..., b_n — k-ы радок Д. d₁, c₁, c₂..., c_n k-ы радок Д. d₂ калі які-н. радок (калонка) Д. памнажаецца на лік α, то і Д. памнажаецца на α; Д. не зменіцца, калі да якога-н. яго радка (калонкі) дадаецца адвольная лінейная камбінацыя інш. радкоў (калонак); для таго, каб Д. быў роўны нулю, неабходна і дастаткова, каб які-н. яго радок (калонка) быў лінейнай камбінацыяй іншых радкоў (калонак). Тэорыя Д. створана ў асноўным у 2-й пал. 18 ст. і 1-й пал. 19 ст. ў працах матэматыкаў: швейц. Г.​Крамера, франц. А.​Вандэрмонда, П.​С.​Лапласа, А.​Кашы, ням. К.​Гаўса і К.​Якобі. Франц. матэматык Ж.​Дзьеданэ ўвёў паняцце Д. матрыцы над целам (мае важнае значэнне для сучаснай алгебры). Шматлікія дастасаванні Д. да розных пытанняў матэматыкі і фізікі, напр. пры рашэнні лінейных ураўненняў.

Літ.:

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 10 изд. М., 1971;

Артин Э. Геометрическая алгебра: Пер. с англ. М., 1969;

Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Ч. 1. Мн., 1984.

Р.​І.​Тышкевіч.

т. 6, с. 362

ВЫЛІЧА́ЛЬНАЯ МАТЭМА́ТЫКА,

раздзел матэматыкі, у якім распрацоўваюцца і даследуюцца метады лікавага рашэння матэм. задач. Метады вылічальнай матэматыкі прыбліжаныя, падзяляюцца на аналітычныя (даюць прыбліжаныя рашэнні ў выглядзе аналітычнага выразу) і лікавыя (у выглядзе табліцы лікаў).

Узнікненне вылічальнай матэматыкі звязана з неабходнасцю рашэння асобных задач (вымярэнне адлегласцей, плошчаў, аб’ёмаў і інш.). Развіццё навукі, асабліва астраноміі і механікі, спрыяла развіццю матэматыкі ўвогуле і вылічальнай матэматыкі ў прыватнасці. Складаліся табліцы эмпірычна знойдзеных залежнасцей, што прывяло да ўзнікнення паняцця функцыі і задачы інтэрпалявання (гл. Інтэрпаляцыя). Поспехі вылічальнай матэматыкі звязаны з імёнамі І.​Ньютана, Л.​Эйлера, М.​І.​Лабачэўскага, К.​Ф.​Гаўса, П.​Л.​Чабышова, С.​А.​Чаплыгіна, А.​М.​Крылова, А.​М.​Ціханава, А.​А.​Самарскага, У.​І.​Крылова, Л.​В.​Кантаровіча і інш. Многія задачы вылічальнай матэматыкі можна запісаць у выглядзе y=Ax, дзе x і y належаць зададзеным мноствам X і Y, A — некаторы аператар. Для рашэння задачы трэба знайсці у па зададзеным х ці наадварот. У вылічальнай матэматыцы гэта задача рашаецца заменай мностваў X, Y і аператара A (ці толькі некаторых з іх) іншымі, зручнымі для вылічэнняў. Замена робіцца так, каб рашэнне новай задачы y=Bx было ў нейкім сэнсе блізкім да рашэння першапачатковай задачы. Напр., калі ў якасці Ax узяць інтэграл ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}x\text{(}t\text{)}dt}$ , то прыбліжанае значэнне яго ў многіх выпадках можна вылічыць паводле т.зв. квадратурнай формулы ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}x\text{(}t\text{)}dt\approx {\sum }_{k-1}^n{A}_{k}x\text{(}{t}_k\text{)}}$ , дзе $A_k$ і $t_k$ — некаторыя фіксаваныя лікі. Гэта адна з класічных задач вылічальнай матэматыкі. Пры рашэнні яе, асабліва ў выпадку кратнага (шматразовага) і кантынуальнага інтэгравання, карыстаюцца Монтэ-Карла метадам. Прынцыповае значэнне ў вылічальнай матэматыцы належыць тэорыі прыбліжэння функцый, якая адыгрывае і агульнаматэм. ролю. Адна з характэрных задач прыбліжэння функцый — задача інтэрпалявання, г.зн. пабудова для зададзенай функцыі $𝑓\text{(}t\text{)}$ прыбліжанай функцыі ${𝑓}_n\text{(}t\text{)}$, якая супадае з $𝑓\text{(}t\text{)}$ у фіксаваных вузлах t₁, t₂, ..., t_n. У тэорыі прыбліжэння функцый сапраўднага (а пазней і камплекснага) пераменнага распрацоўваліся метады прыбліжэння функцый аднаго класа функцыямі інш. класаў, а таксама вывучаліся пытанні збежнасці і ацэнак прыбліжэнняў. Найб. пашыраныя задачы вылічальнай матэматыкі — задачы алгебры [рашэнне сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, вылічэнне вызначнікаў (дэтэрмінантаў) і адваротных матрыц, знаходжанне ўласных вектараў і ўласных значэнняў матрыц, вызначэнне каранёў мнагачленаў]. У задачы прыбліжанага рашэння сістэмы лінейных ураўненняў A_x=b, дзе A — квадратная матрыца, x і b — вектары-калонкі, часта выкарыстоўваюцца ітэрацыйныя метады. Многія ітэрацыйныя метады рашэння гэтай сістэмы маюць выгляд ${\displaystyle x^k=x^{k-1}+B_k\text{(}b-A{x}^{k-1}\text{)}}$ , дзе ${\displaystyle B_k\text{(}k=\mathrm{1,\; 2,\; ...}\text{)}}$ — некаторая паслядоўнасць матрыц, x° — пачатковае прыбліжэнне, часам адвольнае. Розны выбар матрыц B_k дае розныя ітэрацыйныя працэсы. Значную частку вылічальнай матэматыкі складаюць прыбліжаныя і лікавыя метады рашэння звычайных дыферэнцыяльных ураўненняў, дыферэнцыяльных ураўненняў у частковых вытворных, інтэгральных ураўненняў, інтэгра-дыферэнцыяльных ураўненняў, вылічальныя метады варыяцыйнага злічэння, аптымальнага кіравання, задач стахастычнага аналізу і інш. З’яўленне вылічальных машын значна расшырыла кола задач і стымулявала далейшую распрацоўку метадаў вылічальнай матэматыкі з улікам магчымасцей вылічальных машын, у прыватнасці распрацоўкі спец. алгарытмаў, арыентаваных на паралельную рэалізацыю.

На Беларусі даследаванні па ўсіх асн. кірунках вылічальнай матэматыкі і падрыхтоўкі навук. кадраў пачаліся з 1950-х г. у АН і БДУ пад кіраўніцтвам акад. У.​І.​Крылова; асобныя пытанні вылічальнай матэматыкі распрацоўваліся і раней.

Літ.:

Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. 3 изд. М., 1966;

Т. 2. 2 изд. М., 1962;

Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. 5 изд. М.; Л., 1962;

Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2 изд. М., 1967;

Крылов В.И., Скобля Н.С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа. Мн., 1968;

Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Мн., 1968;

Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. 2 изд. М.; Л., 1963;

Янович Л.А. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам. Мн., 1976.

Л.​А.​Яновіч.

т. 4, с. 311

АСТРАНО́МІЯ (ад астра... + грэч. nomos закон),

навука пра рух, будову, паходжанне і развіццё касм. целаў, іх сістэм і Сусвету ў цэлым. Вывучае розныя аб’екты: планеты і іх спадарожнікі, каметы і метэорнае рэчыва, зоркі, зорныя сістэмы (галактыкі), міжзорны газ і дыфузнае рэчыва, рассеянае ў касм. прасторы, эл.-магн. выпрамяненне нябесных целаў. Асн. раздзелы астраноміі: астраметрыя, астрафізіка, зорная астраномія, касмагонія, касмалогія, нябесная механіка, пазагалактычная астраномія, радыёастраномія.

Астраномія ўзнікла ў глыбокай старажытнасці з практычных патрэб чалавецтва. Рух Месяца, планет і сузор’яў дапамагаў вызначаць прамежкі часу і змены пораў года, весці каляндар, арыентавацца на мясцовасці. Практычны характар астр. ведаў адлюстраваўся ў нар. назвах касм. аб’ектаў (напр., Млечны Шлях — «Птушыны Шлях», планета Венера — «Вечарніца» і інш.) і ў стварэнні найпрасцейшых аграрна-астр. «абсерваторый». Адно з такіх збудаванняў дахрысціянскіх часоў з арыентаваных валуноў выяўлена і на Беларусі каля воз. Янова ў Полацкім раёне. Астраномія паспяхова развівалася ў Вавілоне, Егіпце, Стараж. Грэцыі, Індыі і Кітаі. Стараж.-грэч. вучоны Пталамей распрацаваў у 2 ст. геацэнтрычную сістэму свету, якая была агульнапрынятай амаль 1,5 тыс. гадоў. У сярэднія вякі астраномія дасягнула значнага развіцця ў дзяржавах Усходу. У 15 ст. Улугбек пабудаваў паблізу Самарканда астр. абсерваторыю з дастаткова дакладнымі на той час вугламернымі інструментамі. Узнікненне сучаснай астраноміі звязана са стварэннем геліяцэнтрычнай сістэмы свету (М.​Капернік, 16 ст.), вынаходствам тэлескопа (Г.​Галілей, пач. 17 ст.), адкрыццём законаў руху планет (І.​Кеплер, пач. 17 ст.) і сусветнага прыцягнення закону (І.​Ньютан, канец 17 ст.).

У 18 — пач. 20 ст. назіральная астраномія атрымала шматлікія звесткі пра Сонечную сістэму, фіз. прыроду зорак і інш. касм. аб’ектаў, што спрыяла стварэнню навук. карціны свету. Выкарыстанне ў астр. даследаваннях метадаў спектраскапіі, фатаграфіі і фотаметрыі прывяло да ўзнікнення астрафізікі. Вялікае значэнне мела заснаванне многіх астранамічных абсерваторый, удасканаленне астранамічных інструментаў і прылад, складанне зорных каталогаў з указаннем дакладных каардынат зорак. Гэтыя дасягненні астраноміі звязаны з працамі У.​Гершэля (Вялікабрытанія), Ж.​Лагранжа, П.​Лапласа, У.​Левер’е (Францыя), М.​В.​Ламаносава, В.​Я.​Струве, Ф.​А.​Брадзіхіна (Расія), К.​Доплера (Аўстрыя) і інш. Значны ўклад у назіральную астраномію і астрафіз. метады даследавання зрабілі астраномы Віленскай астранамічнай абсерваторыі і астраномы — выхадцы з Беларусі: С.​М.​Блажко, Дз.​І.​Дубяга, Г.​А.​Ціхаў, В.​К.​Цэраскі. Астр. даследаванні ў б. СССР звязаны з працамі В.​А.​Амбарцумяна, А.​А.​Белапольскага, С.​У.​Арлова, Я.​К.​Харадзе і інш. Даследаванні спектраў галактык дазволілі Э.​Хаблу (ЗША) выявіць у 1929 агульнае расшырэнне Сусвету, прадказанае рас. вучоным А.​А.​Фрыдманам (1922) на падставе тэорыі гравітацыі А.​Эйнштэйна (1915—16). Сярэдзіна 20 ст. характарызавалася з’яўленнем новых сродкаў назірання і выкарыстаннем касм. тэхнікі, што значна расшырыла магчымасці астр. даследаванняў. Стварэнне аптычных і радыётэлескопаў з высокай раздзяляльнай здольнасцю, выкарыстанне штучных спадарожнікаў Зямлі, ракет, а таксама аптычных і электронных сістэм, у стварэнні якіх бралі ўдзел вучоныя Беларусі, дало магчымасць у 1960—80 выявіць і даследаваць новыя касм. аб’екты: радыёгалактыкі, квазары, пульсары, крыніцы рэнтгенаўскага і нейтрыннага выпрамяненняў. Астраномія стала эксперыментальнай навукай, здольнай непасрэдна даследаваць касм. прастору, вывучаць Месяц і бліжэйшыя планеты. З дапамогай касм. апаратаў (напр., «Венера», «Марс», «Меркурый», «Рэйнджэр» і інш.) атрыманы фотаздымкі Месяца і амаль усіх планет Сонечнай сістэмы (акрамя Плутона), адкрыты новыя спадарожнікі планет, кольцы вакол планет-гігантаў, сфатаграфавана ядро каметы Галея.

Літ.:

Бакулин П.М., Кононович Э.В., Мороз В.И. Курс обшей астрономии. 5 изд. М., 1983;

Мартынов Д.Я. Курс обшей астрофизики. 4 изд. М., 1988;

Климишин И.А. Астрономия наших дней. 3 изд. М., 1986;

Паннекук А. История астрономии: Пер. с англ. М., 1966.

А.​А.​Навіцкі.

т. 2, с. 52